Question

17．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+msin2x （m∈R），f（$\frac{π}{12}$）=2．
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b=2，f （$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{3}$，△ABC 的面积是$\sqrt{3}$，求△ABC 的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数解析式计算f（$\frac{π}{12}$）的值即可；
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简f（x），求出B的值，再利用正弦、余弦定理求出a+c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+msin2x （m∈R），
∴f（$\frac{π}{12}$）=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+msin$\frac{π}{6}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$m=2，
解得 m=1；
（Ⅱ）m=1时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin2x
=（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x）+sin2x
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
△ABC 中，b=2，f （$\frac{B}{2}$）=2sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜B＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴B+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$；
∵△ABC 的面积是S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，
∴ac=4，
b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=4，
∴a²+c²=4+ac=8，
∴（a+c）²=8+2×4=16，
∴a+c=4，
∴a+b+c=2+4=6，
∴△ABC的周长为6．

点评 本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．