Question

（本题满分16分） 已知函数.

（Ⅰ）若不等式的解集为，，求的取值范围；

（Ⅱ）若为整数，，且函数在上恰有一个零点，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数对任意的x∈，有恒成立，求实数的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）（2，+∞）（Ⅱ）（Ⅲ）1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）本题为线性规划求范围问题，先列出可行域：由题知，以a为x轴，b为y轴建立直角坐标系，由图可知直线过点取最小值2，（Ⅱ）本题先分一次函数与二次函数讨论：时，f(x)=－2x+1,零点为，不合，舍去；时，∵ ∴ ，，∴函数必有两个零点，再根据零点存在定理列函数在上恰有一个零点的充要条件：，又，∴ （Ⅲ）先化简不等式：对任意的x∈恒成立，即，令t(x)= ，则，

，在（1，+∞）上单调增，

∴t(x) = 在（1，+∞）单调增，,从而实数的最小值为1.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由题知

∈（2，+∞）

（Ⅱ）时，f(x)=－2x+1,零点为，不合，舍去；

时，∵ ∴ ，，

∴函数必有两个零点，

又函数在上恰有一个零点，∴

，又，∴

（Ⅲ），， 整理得

令H(x)= ，，

在（1，+∞）上单调增，又，>0,

∴H(x) = 在（1，+∞）单调增，，k≥1,k的最小值为1.

考点：函数零点，不等式恒成立