Question

18．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=$\frac{2a-c}{2b}$．
（1）求角B的大小；
（2）若BD为AC边上的中线，cosA=$\frac{1}{7}$，BD=$\frac{{\sqrt{129}}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）在△ABD中，由余弦定理得$（\frac{\sqrt{129}}{2}）^{2}$=c²+$（\frac{b}{2}）^{2}$-2c×$\frac{b}{2}$cosA，在△ABC中，由正弦定理得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$，由已知得sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．再利用sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，联立解出．

解答 解：（1）2bcosC+c=2a，由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA．
∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），∴sinC=2cosBsinC，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴$cosB=\frac{1}{2}$．
又∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABD中，由余弦定理得$（\frac{\sqrt{129}}{2}）^{2}$=c²+$（\frac{b}{2}）^{2}$-2c×$\frac{b}{2}$cosA，
∴$\frac{129}{4}$=c²+$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{1}{7}$bc，①，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$，由已知得sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴c=$\frac{5}{7}$b…②，
由①，②解得b=7，c=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．