Question

已知f（x）=

-x

2+lnx

+ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在（

1

e

，+∞）上是增函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）若?x₁，x₂∈[1，e²]，使f（x₁）≥f′（x₂）-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过求导得到函数的单调性，从而得到a的范围；
（Ⅱ）问题转化为x∈[1，e²]时，有f（x）_max≥f（x）_min-a恒成立，通过讨论a，得到函数的单调性，从而得到a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）：由f（x）=

-x

2+lnx

+ax，知x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）=

-2-lnx+1

(2+lnx)2

+a≥0，
即-a≤

-2-lnx+1

(2+lnx)2

=

1

(2+lnx)2

-

1

2+lnx

=t²-t，（t=

1

2+lnx

∈（0，1）），
当t=

1

2

即x=1时t²-t有最小值-

1

4

，故a≥

1

4

；

（Ⅱ）：若?x₁，x₂∈[1，e²]，使f（x₁）≥f′（x₂）-a成立，
等价于当x∈[1，e²]时，有f（x）_max≥f′（x）_min-a恒成立，
由（Ⅰ）有当x∈[1，e²]时，f′（x）_min=-

1

4

+a，
故当x∈[1，e²]时，f（x）_max≥-

1

4

，
①当a≥

1

4

时，由（Ⅰ）得f（x）在[1，e²]为增函数，
f（x）_max=f（e²）=-

1

4

e²+ae²≥-

1

4

，a≥

1

4

-

1

4e2

＜

1

4

，
故a≥

1

4

；
②当a＜

1

4

时，f（x）在区间（1，e²）上递增，
故f（x）∈（a-

1

4

，a-

3

16

），
（i）当

3

16

＜a＜

1

4

时，?x₀∈[1，e²]使f（x₀）=0，则f（x）在区间[1，x₀]递减，
在区间[x₀，e²]上递增，f（x）_max={f（1），f（e²）}，有f（1）≥-

1

4

或f（e²）≥-

1

4

，
a≥

1

4

或a≥

1

4

-

1

4e2

＞

1

4

-

1

4×4

=

3

16

，
故

1

4

-

1

4e2

≤a＜

1

4

，
（ii）当a≤

3

16

时，f（x）在区间[1，e²]上递减，f（x）_max=f（1）=-

1

2

+a≥-

1

4

，
故a≥

1

4

，无解，
综上a≥

1

4

-

1

4e2

．

点评：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．