Question

3．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]，下列命题中正确命题的序号②③⑤．
①函数f（x）的最大值为1；
②函数f（x）的最小值为0；
③方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0有无数个解；
④函数f（x）是增函数；
⑤对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+1）=f（x）；
⑥函数f（x）的图象与函数g（x）=|lgx|的图象的交点个数为10个．

Answer 1

分析 分段写出函数解析式，画出图象，根据图选购，即可判断．

解答 解：定义函数f（x）=x-[x]，其图象：x为整数时f（x）=0，x不为整数时f（x）∈（0，1）
可得：①函数f（x）的最大值为1，不正确；
②函数f（x）的最小值为0，正确；
③函数G（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$有无数个零点，正确；
④函数f（x）是周期函数，不是增函数，因此不正确．
⑤函数f（x）是周期为1的函数，正确．
⑥函数f（x）的图象与函数g（x）=|lgx|的图象的交点个数为11个，不正确．
故答案为：②③⑤．

点评 本题考查了取整函数[x]的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．