Question

18．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q（其中O为坐标原点）．若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，运用中点坐标公式可得OP的垂直平分线方程，可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
右焦点F（c，0），
由题意可得直线PF的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，可得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
可得OP的垂直平分线方程为y-$\frac{ab}{2c}$=-$\frac{a}{b}$（x-$\frac{{a}^{2}}{2c}$），
令x=0，可得y=$\frac{ac}{2b}$，即Q（0，$\frac{ac}{2b}$），
又|PF|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，|OP|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|PF{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，
可得$\frac{1}{2}$c•$\frac{ab}{c}$=4•$\frac{1}{2}$•$\frac{ac}{2b}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有b²=2a²，可得c²=a²+b²=3a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．