Question

2．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-3}}，x≤2\\{log_a}x，x＞2\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）的值域是[2，+∞），则实数a的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据指数函数的性质求其在x≤2的值域为[2，+∞），要使函数f（x）的值域是[2，+∞），log_ax在x＞2的值域属于[2，+∞），从而求解a的范围．

解答 解：根据指数函数的性质，$（\frac{1}{2}）^{x-3}$在x≤2的值域为[2，+∞），要使函数f（x）的值域是[2，+∞），那么log_ax在x＞2的值域属于[2，+∞），
当0＜a＜1时，log_ax在x＞2的值域为（-∞，log_a2），不符合题意．
当a＞1时，log_ax在x＞2的值域为（log_a2，+∞），
由题意：log_a2≥2，
解得：a≤$\sqrt{2}$，
∴实数a的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]，
故答案为（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了分段函数以及对数函数的值域问题．属于基础题．