Question

设向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=

a

•

b

+1，使不等式f（x）≥

3

2

成立的x的取值集合为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的坐标表示，二倍角的正弦和余弦公式及两角和的正弦公式化简f（x），再由正弦函数的图象和性质，即可得到不等式的解集．

解答： 解：由于向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，
则函数f（x）=

a

•

b

+1=sinxcosx+cos²x+1=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

+1
=

2

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）+

3

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
则不等式f（x）≥

3

2

即为sin（2x+

π

4

）≥0，
即有2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，（k∈Z），
即所求x的取值集合为{x|kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

}（k∈Z）．
故答案为：{x|kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

}（k∈Z）．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查三角函数的恒等变换以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．