Question

12．已知集合A={t|t使{x|x²+2tx-4t-3≠0}=R}，集合B={t|t使{x|x²+2tx-2t=0}≠∅}，其中x，t均为实数．
（1）求A∩B；
（2）设m为实数，g（α）=-sin²α+mcosα-2m，α∈[π，$\frac{3}{2}$π]，求M={m|g（α）∈A∩B}．

Answer 1

分析 （1）分别求出集合A、B，取交集即可；（2）令t=cosα，则t∈[-1，0]，令h（m）=t²+mt-2m-1，得到：-2＜t²+mt-2m-1＜-1，求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵集合A={t|t使{x|x²+2tx-4t-3≠0}=R}，
∴△₁=（2t）²+4（4t+3）＜0，
∴A={t|-3＜t＜-1}，
∵集合B={t|t使{x|x²+2tx-2t=0}≠∅}，
∴△₂=4t²-4（-2t）≥0，
∴B={t|t≥0或t≤-2}，
∴A∩B=（-3，-2]；
（2）∵g（α）=-sin²α+mcosα-2m，α∈[π，$\frac{3}{2}$π]，
∴g（α）=${（cosα+\frac{m}{2}）}^{2}$-$\frac{{m}^{2}}{4}$-2m-1，
令t=cosα，则t∈[-1，0]，
∴h（m）=t²+mt-2m-1，
∴-3＜t²+mt-2m-1＜-2，
解得：$\frac{1{+t}^{2}}{2-t}$＜m＜$\frac{2{+t}^{2}}{2-t}$，
由t∈[-1，0]，得：$\frac{1}{2}$＜m＜1，
故M={m|$\frac{1}{2}$＜m＜1}．

点评 本题考察了集合的运算以及表示，考察转化思想，是一道中档题．