Question

15．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求实数a，b的值；
（2）当b=1时，函数f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数f'（x）=3x²+2ax+b，$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=10}\\{{f}^{′}（1）=0}\end{array}\right.$求解．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在（1，2）上恒成立，$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-（\frac{1}{x}+3x）$在（1，2）上恒成立，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，由$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=0}\\{f（1）=10}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{a+b+{a^2}=9}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$
经验证，当$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}}\right.$时，f'（x）=（x-1）（3x+11），f（1）为极小值；
当$\left\{{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}}\right.$时，f'（x）=3（x-1）²≥0恒成立，f（x）为单调递增函数，无极值；
综上，a=4，b=-11…（6分）
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在（1，2）上恒成立，
$2a≤-\frac{{1+3{x^2}}}{x}=-（\frac{1}{x}+3x）$在（1，2）上恒成立，即$2a≤-\frac{13}{2}$，得$a≤-\frac{13}{4}$
经验证，当$a=-\frac{13}{4}$时满足题意；∴a的取值范围为$（-∞，-\frac{13}{4}]$

点评 本题考查了导数在解决函数的切线问题，不等式恒成立，参变量的范围问题的应用，属于简单的综合题目．