Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，二面角A-PB-C为90°，PA=AB=2BC．
（1）求证：底面ABCD为矩形；
（2）求二面角A-PC-D的余弦值；
（3）求BC与平面PBD所成角的正弦值；
（4）若BC=1，设M为棱CD的中点，求M到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）：如图所示，取PB的中点O，连接AO，则AO⊥PB，由二面角A-PB-C为90°，可得平面ABP⊥平面PBC，可得AO⊥平面PBC，AO⊥BC．由PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理可得BC⊥AB．即可证明平行四边形ABCD是矩形．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取BC=1．设平面APC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．设平面DPC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（3）由（2）可得：B（2，0，0），设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{u}$．设BC与平面PBD所成角为θ，利用sinθ=|$cos＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{BC}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{BC}|}$即可得出．
（4）由（3）可得：点C到平面PBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{u}|}$，即可得出M到平面PBD的距离=$\frac{1}{2}$d．

解答 （1）证明：如图所示，取PB的中点O，连接AO，则AO⊥PB，
∵二面角A-PB-C为90°，∴平面ABP⊥平面PBC，又平面ABP∩平面PBC=PB，
∴AO⊥平面PBC，BC?平面PBC．
∴AO⊥BC．
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥AB．
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取BC=1．
A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，1，0），C（2，1，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CP}$=（-2，-1，2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0）．
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{1}-{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\\{2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，-2，0）．
设平面DPC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{2}-{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\\{-2{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，2，1）．
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$-\frac{4}{5}$，
由图可知：二面角A-PC-D的平面角是锐角，因此余弦值为$\frac{4}{5}$．
（3）解：由（2）可得：B（2，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0）．
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{-2x+y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{u}$=（1，2，1），
设BC与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|$cos＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{BC}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴BC与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（4）解：由（3）可得：点C到平面PBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{u}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴M到平面PBD的距离=$\frac{1}{2}$d=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角与空间距离、线面面面垂直的判定与性质定理、矩形与平行四边形的定义与性质、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．