Question

8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a²+b²=c²+ab，c=$\sqrt{3}$．
数列{a_n}是等比数列，且首项a₁=$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{sinA}{a}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过余弦定理和正弦定理，进而可知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n•2ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a²+b²=c²+ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又C为三角形的内角，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinC}{c}$=$\frac{1}{2}$，
∴q=$\frac{1}{2}$，
∵首项a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）b_n=-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
整理得S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．