Question

2．已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，且对任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若eⁿ≥tS_n对任意的n∈N^*恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （1）对任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1），化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又{a_n}各项均为正数，可得：a_n-a_n-1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）eⁿ≥tS_n对任意的n∈N^*恒成立，则t≤$\{\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}{\}}_{min}$．利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）对任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又{a_n}各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2，
又4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，
a_n=2n-1．
（2）eⁿ≥tS_n对任意的n∈N^*恒成立，则t≤$\{\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}{\}}_{min}$．
令b_n=$\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}$，∵$（\frac{n}{n+1}）^{2}$单调递增，n≥2时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=e$•\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$=e$（\frac{n}{n+1}）^{2}$＞1．
∵b₁=e，b₂=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴$\{\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}{\}}_{min}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴$t≤\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴实数t的最大值为$\frac{{e}^{2}}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．