题目内容
18．若实数x，y满足等式 x2+y2=4x-1，那么$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$．x2+y2的最小值为7-4$\sqrt{3}$．分析 ①x2+y2=4x-1，令$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）-4x+1=0，令△≥0，解得k即可得出．
②令x=2+$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，θ∈[0，2π）．代入x2+y2，利用三角函数平方关系及其单调性即可得出．
解答 解：①∵x2+y2=4x-1，∴（x-2）2+y2=3．
令$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）-4x+1=0，
令△=16-4（1+k2）≥0，解得$-\sqrt{3}≤k≤\sqrt{3}$，因此$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$．
②令x=2+$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，θ∈[0，2π）．
则x2+y2=$（2+\sqrt{3}cosθ）^{2}+（\sqrt{3}sinθ）^{2}$=7+4$\sqrt{3}$cosθ≥7-4$\sqrt{3}$，当且仅当cosθ=-1时取等号．
点评 本题考查了直线与圆的位置关系、三角函数换元方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
13．已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量$\overrightarrow n$=（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（ ）
| A． | （-4，4，0） | B． | （2，0，1） | C． | （2，3，3） | D． | （3，-3，4） |
3．已知直线l的斜率$k∈（{-1，\sqrt{3}}]$，则直线倾斜角的范围为（ ）
| A． | $[{0，\frac{π}{3}}]∪[{\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}}]$ | B． | $[{0，\frac{π}{3}}]∪（\frac{3π}{4}，π）$ | C． | $[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]∪（\frac{3π}{4}，π]$ | D． | $[{0，\frac{π}{3}}]∪（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$ |
10．从装有2个红球和 2个白球的口袋内任取2个，则互斥但不对立的两个事件是（ ）
| A． | 至少一个白球与都是白球 | B． | 至少一个白球与至少一个红球 | ||
| C． | 恰有一个白球与 恰有2个白球 | D． | 至少一个白球与都是红球 |