Question

4．已知函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值为m，且f（a）=m．
（Ⅰ）求m的值以及实数a的取值集合；
（Ⅱ）若实数p，q，r满足p²+2q²+r²=m，证明：q（p+r）≤2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）|x+3|+|x-1|≥（x+3）-（x-1）=4，即可求m的值以及实数a的取值集合；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知p²+2q²+r²=4，再由基本不等式即可得证．

解答 （Ⅰ）解：因为|x+3|+|x-1|≥（x+3）-（x-1）=4
当且仅当-3≤x≤1时，等号成立，
所以f（x）的最小值等于4，即m=4，
f（a）=m，则实数a的取值集合为{a|-3≤a≤1}；
（Ⅱ）证明：p²+2q²+r²=4≥2pq+2qr，
∴pq+qr≤2，即q（p+r）≤2，当且仅当p=q=r时取等号．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题．