Question

已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且准线方程为直线l过M（1，0）与抛物线交于A，B两点，点P在y轴的右侧且满足（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线的方程及动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为λ，满足，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）待定系数法求出抛物线方程，点斜式设出直线l的方程并与抛物线方程联立方程组，得到直线l与物线交于A，B两点的坐标间的关系，由得到点P的坐标与直线斜率k的关系，消去k得到动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）先求出曲线C的切线斜率λ的范围，又，用λ表示a，由斜率λ的范围得出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意知抛物线的方程为
∴p=1，抛物线的方程为x²=2y．（2分）
直线l的斜率不存在时，
直线l与抛物线交于一点，不符合题意．（3分）
于是设直线l的方程为y=k（x-1）．
联立
设两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则△=4k²-8k＞0⇒k＞2或k＜0，（4分）
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2k．（5分）
设
∵，
∴
消去k得y=x²-x．（7分）
又∵P点在y轴的右侧∴x＞0，
又∵x=k，k＞2或k＜0，∴x＞2．（8分）
∴动点P的轨迹方程为y=x²-x，（x＞0）；
（Ⅱ）∵曲线C的方程为y=x²-x，（x＞2）
∴切线斜率λ=y=2x-1（x＞2）．（9分）
∴λ＞3．（10分）
∵，
又
∴
∴λx₁²-2λx₁+λ-1=0．
解得（12分）
∴（13分）
∴a的取值范围是：（14分）
点评：本题考查抛物线方程、轨迹方程的求法，以及向量运算．