Question

5．已知椭圆C：9x²+y²=1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为-9．

Answer 1

分析 由题意可知A，B在椭圆上，$\left\{\begin{array}{l}{9{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}=1}\\{9{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减可知：$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，由直线OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，即可求得直线OM的斜率与l的斜率的乘积．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
直线OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
$\left\{\begin{array}{l}{9{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}=1}\\{9{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减可得：9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁+y₂）=0，
即$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
∴k_OM•k=-9，
故答案为：-9．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式及点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．