Question

将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是 ．

①EF∥AB；

②EF⊥BD；

③EF有最大值，无最小值；

④当四面体ABCD的体积最大时，；

⑤AC垂直于截面BDE．

 

Answer 1

②④⑤

【解析】

试题分析：画出图形，利用翻折前后线面关系，角的关系，逐一分析各个选项的正确性，把正确的选项找出来．

【解析】
如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故①不正确．

由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，

又EF?面ACF，

∴EF⊥BD，故②正确．

EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=，

斜边AC的长度不定，

故 EF无最大值，也无最小值，故③不正确．

当四面体ABCD的体积最大时，因为等边△ABD的面积为定值，

故面CBD⊥面ABD时，CF为四面体的高，AC===，故④正确．

由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．

综上，②④⑤正确，

故答案为 ②④⑤．