Question

5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=at}\end{array}\right.$，（t为参数），曲线C₁的方程为ρ（ρ-4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C₁上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C₂的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C₂交于M，N两点，若|MN|≥2$\sqrt{3}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先，将曲线C₁化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C₂的直角坐标方程；
（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等式即可得到取值范围．

解答 解：（1）根据题意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
曲线C₁的极坐标方程ρ（ρ-4sinθ）=12，
可得曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²-4y=12，
设点P（x′，y′），Q（x，y），
根据中点坐标公式，得$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x-6}\\{y′=2y}\end{array}\right.$，代入x²+y²-4y=12，
得点Q的轨迹C₂的直角坐标方程为：（x-3）²+（y-1）²=4；
（2）直线l的普通方程为：y=ax，
设圆心到直线的距离为d，
由弦长公式可得，|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-{d}^{2}}$≥2$\sqrt{3}$，
可得圆心（3，1）到直线的距离为d=$\frac{|3a-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≤$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$，
即为4a²-3a≤0，
解得实数a的取值范围为：[0，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．