Question

设对任意实数x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明不等式，

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥

m

8

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，问题转化为求f（x）的最小值．
（2）当m取最大值8时，原不等式等价于

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，利用基本不等式可得结论．

解答： 解：（1）设f（x）=|x+7|+|x-1|，则有f（x）=

-6-2x，x≤-7 8，-7≤x≤1 2x+6，x≥1

，
当x≤-7时，f（x）有最小值8；当-7≤x≤1时，f（x）有最小值8；
当x≥1时，f（x）有最小值8．综上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）当m取最大值时m=8，原不等式等价于

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，
因为

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+（a+b+c）≥2（a+b+c），即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c，
所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题，考查均值不等式，体现了等价转化的数学思想．在应用均值不等式时，注意等号成立的条件：一正二定三相等．