Question

4．设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），记|f（x）|的最大值为A．
（1）当a=2时，求A；
（2）当a＞0时，求A．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式和二次函数的值即可求出
（2）a的取值，利用分类讨论的思想，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=2cos2x+cosx+1=4cos²x+cosx+1=4（cosx+$\frac{1}{8}$）²-$\frac{17}{16}$，
∵cosx∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\frac{17}{16}$，4]，
∴A=4．
（2）f（x）=2acos²x-a+（a-1）cosx+a-1=2acos²x+（a-1）cosx-1，
令cosx=t∈[-1，1]，
则f（t）=2at²+（a-1）t-1=2a（t-$\frac{1-a}{4a}$）²-1-$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$
当$\frac{1-a}{4a}$≥1即0＜a≤$\frac{1}{5}$时，f（-1）=a，f（1）=3a-2，
∵|a|＜|3a-2|，
∴A=2-3a，
当0≤$\frac{1-a}{4a}$＜1，即$\frac{1}{5}$＜a≤1时，
∵|f（$\frac{1-a}{4a}$）|=1+$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$＞|f（-1）|=a，
∴A=1+$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$
当-1＜$\frac{1-a}{4a}$＜0，即a＞1时，此时|f（$\frac{1-a}{4a}$）|=1+$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$，|f（1）|=3a-2，
∵3a-2-1-$\frac{（1-a）^{2}}{8a}$=$\frac{（a-1）（25a-1）}{8a}$＞0
∴A=3a-2，
综上所述A=$\left\{\begin{array}{l}{2-3a，0＜a≤\frac{1}{5}}\\{\frac{{a}^{2}+6a+1}{8a}，\frac{1}{5}＜a＜1}\\{3a-2，a≥1}\end{array}\right.$

点评 本题考查了三角形函数与二次函数的性质和最值，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．