Question

已知A（-，0），B（，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=k（x+）（k＞0）与（1）中点P的轨迹交于M，N两点，求△BMN的最大面积及此时的直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据P到两个定点A、B的距离和等于定值，可得P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，结合椭圆的基本概念即可求出动点P的轨迹方程；
（2）由直线MN方程与椭圆方程联解，消去x得（1+4k²）y²-y-k²=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根与系数的关系算出|y₁-y₂|²=，再用换元法结合二次函数的性质算出|y₁-y₂|的最大值为，相应的k=．最后根据△BMN的面积S=•|AB|•|y₁-y₂|，即可得出△BMN的最大面积为，此时的直线l方程为 y=±（x）．
解答：解：（1）∵|PA|+|PB|=2，|AB|=＜2
∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为（a＞b＞0）
可得a=1，c=，b==，
因此，椭圆方程为，可得动点P的轨迹方程为x²+4y²=1；
（2）由消去x，得（1+4k²）y²-y-k²=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得，
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=，
令1+4k²=t，则|y₁-y₂|²=-++
当=，即t=3时|y₁-y₂|²的最大值为，
可得|y₁-y₂|的最大值为，相应的k=
∵△BMN的面积S=•|AB|•|y₁-y₂|
∴当且仅当k=时，△BMN的面积S=××=，达到最大值
综上所述，△BMN的最大面积为，此时的直线方程为y=（x+），即y=±（x）．
点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并求三角形面积的最大值．着重考查了椭圆的定义与概念、直线与圆锥曲线的位置关系和函数的最值讨论等知识，考查了转化化归与数形结合数学思想的应用，属于中档题．