Question

17．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（　　）

• A． $\sqrt{33}$
• B． $\sqrt{17}$
• C． $\sqrt{41}$
• D． $\sqrt{42}$

Answer 1

分析 几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．

解答 解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，
底面为边长为4的正方形如图：
其中PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，
PE⊥AD，DE=1，AE=3，PE=4，$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}+{4}^{2}}$
PE⊥底面ABCD，连接CE，BE，
在直角三角形PBE中，
PB=$\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$；
在直角三角形PCE中，
可得PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{33}$；
又PA=$\sqrt{P{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5；
PD=$\sqrt{P{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
几何体最长棱的棱长为$\sqrt{41}$．
故选：C．

点评 本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键．