Question

17．已知0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式及诱导公式即可求出

解答 解：∵0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，（$\frac{π}{4}$-α
∴$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$+β＜π，-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}$-α＜0，
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）=-sin[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]
=-[sin（$\frac{3π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{3π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）]=-（$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$）=$\frac{33}{65}$．

点评 本题考查了同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式、诱导公式，属于基础题．