Question

在△ABC中，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

．若△ABC的最长边为1，则最短边的长为（　　）

• A．

  4 5

  5

• B．

  3 5

  5

• C．

  2 5

  5

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：由三角形的内角和定理得到C=π-（A+B），然后利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，将tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，得到C为钝角，根据大角对大边可得c为最大边，根据正切函数的单调性由tanB小于tanA，得到B小于A，即b小于a，可得最短的变为b，根据tanB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB，sinC和c的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

，
∵0＜tanB＜tanA，
∴A、B均为锐角，则B＜A，
又C为钝角，∴最短边为b，最长边长为c，
由 tanB=

1

3

，解得 sinB=

10

10

，
由

b

sinB

=

c

sinC

，
∴b=

c•sinB

sinC

=

1× 10 10

2 2

=

5

5

．
故选D．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正切函数公式，诱导公式，三角形的边角关系，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．