Question

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为，（α为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

 

Answer 1

（1）点P在直线l上；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将极坐标下的点转化为直角坐标系下的点，然后判断即可；（2）根据点到直线的距离公式表示出距离，然后运用三角变换化简求解即可（3）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.

试题解析：（1）把极坐标系下的点化为直角坐标系，得．因为点P的直角坐标满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．

（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为从而点Q到直线l的距离为：d＝，由此得，当时，d取得最小值，且最小值为.

考点：（1）参数方程的应用；（2）点到直线点的距离公式应用.