Question

11．如图，在D是直角△ABC斜边BC上一点，$AC=\sqrt{3}DC$．
（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=4，求DC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角形的内角和定理，即可求出∠B的值；
（Ⅱ）设DC=x，表示出BD、BC和AC，利用余弦定理列方程求出DC的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，根据正弦定理，
$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，
因为$AC=\sqrt{3}DC$，
所以$sin∠ADC=\sqrt{3}sin∠DAC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，
所以∠ADC=120°；
所以∠C=180°-120°-30°=30°，
所以∠B=60°；
（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，$AC=\sqrt{3}x$；
∴$sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$AB=\sqrt{6}x$；
在△ABC中，由余弦定理，得：
AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB，
即${4^2}=6{x^2}+4{x^2}-2×\sqrt{6}x×2x×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=2{x^2}$，
解得$x=2\sqrt{2}$，即$DC=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．