Question

4．已知F₁，F₂是双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且F₂是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，P是双曲线C₁与抛物线C₂在第一象限内的交点，线段PF₂的中点为M，且|OM|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，其中O为坐标原点，则双曲线C₁的离心率是（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设P在抛物线准线的射影为A，在直角△F₁AP中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设点P（x₀，y₀），F₂（c，0），设P在抛物线准线的射影为A，
由双曲线定义可得|PF₂|=|PF₁|-2a，
由抛物线的定义可得|PA|=x₀+c=2c-2a，∴x₀=c-2a，
在直角△F₁AP中，|F₁A|²=8ac-4a²，
∴y₀²=8ac-4a²，
∴8ac-4a²=4c（c-2a），
∴c²-4ac+a²=0，
∴e²-4e+1=0，
∵e＞1，
∴e=2+$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．