Question

6．函数f（x）=1+4cosx-4sin²x，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，有（　　）

• A． 最大值0，最小值-8
• B． 最大值5，最小值-4
• C． 最大值5，最小值-3
• D． 最大值2$\sqrt{2}$-1，最小值-3

Answer 1

分析 利用同角的平方关系化简函数f（x），再配方，根据x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]求出cosx的取值范围，即可得出f（x）的最值．

解答 解：函数f（x）=1+4cosx-4sin²x
=1+4cosx-4（1-cos²x）
=4cos²x+4cosx-3
=4${（cosx+\frac{1}{2}）}^{2}$-4，
当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]时，cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
所以cosx=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值-4，
cosx=1时，f（x）取得最大值为4×$\frac{9}{4}$-4=5；
所以f（x）的最大值是5，最小值是-4．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．