Question

15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinα+cosα}\\{y=sinα-cosα}\end{array}\right.$ （α为参数）
（1）求曲线C的普通方程；
（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）把参数方程中的x，y平方相加即可得普通方程；
（2）把直线l方程为$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）+1=0化为普通方程为：x-y+1=0，然后根据弦长公式计算即可．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinα+cosα}\\{y=sinα-cosα}\end{array}\right.$ （α为参数），
x，y平方相加可得：x²+y²=2，①
（2）直线l方程为$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）+1=0化为普通方程为：x-y+1=0，②
由②得：y=x+1，③
把③带入①得：2x²+2x-1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=-1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}\sqrt{3}$
=$\sqrt{6}$

点评 本题主要考查参数方程和普通方程的互化以及弦长公式，属于中档题．