Question

10．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C₂的极坐标方程为ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$（t为参数）过曲线C₁与y轴负半轴的交点，求与直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得：曲线C₁的普通方程．由ρ+6sinθ-8cosθ=0得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，利用互化公式可得：曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C₁：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$与y轴负半轴的交点坐标为（0，-3），代入直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$，解得λ．可得直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\;t}\end{array}}\right.$，消去参数可得直线l的普通方程为：3x-4y-12=0，设与直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程为：3x-4y+k=0，利用直线与圆相切的性质即可得出k．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
利用平方关系可得：曲线C₁的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
由ρ+6sinθ-8cosθ=0得ρ²+6ρsinθ-8ρcosθ=0，
∴曲线C₂的直角坐标方程为：x²+y²-8x+6y=0．
（或：曲线C₂的直角坐标方程为：（x-4）²+（y+3）=25）
（Ⅱ）曲线C₁：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$与y轴负半轴的交点坐标为（0，-3），
又直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{0=2+t}\\{-3=-\frac{3}{2}+λ\;t}\end{array}}\right.$，得$λ=\frac{3}{4}$，
即直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\;t}\end{array}}\right.$得直线l的普通方程为：3x-4y-12=0，
设与直线l平行且与曲线C₂相切的直线方程为：3x-4y+k=0．
∵曲线C₂是圆心为（4，-3），半径为5的圆，得$\frac{{|{12+12+k}|}}{5}=5$，解得k=1或k=-49．
故所求切线方程为：3x-4y+1=0或3x-4y-49=0．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．