Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先把已知等式转化为a≤x+2lnx+

3

x

，设h（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．

解答： 解：2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，
等价于a≤x+2lnx+

3

x

，
令h（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），
h′（x）=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调减，
当x=1时，h′（x）=0，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴a≤4．

点评：本题主要考查了利用导函数求最值的问题，考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．