Question

13．给出如图算法：
试问：当循环次数为n（n∈N^*）时，若S＜M对一切n（n∈N^*）都恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 由循环语句知，程序的功能是计算并输出$S=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+…+\frac{2}{n（n+1）}$，利用裂项相消法，求出S的表达式，并分析其单调性，可得S＜2，进而得到满足条件的M的最小值．

解答 解：由循环语句知，程序的功能是计算并输出$S=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+…+\frac{2}{n（n+1）}$…（4分）
所以$S=2[（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$2（1-\frac{1}{n+1}）$…（10分）
记$f（x）=2-\frac{2}{x+1}$，易知f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
所以  f（x）＜2，
所以对一切n（n∈N^*），都有S＜2，…（12分）
所以M≥2，即M的最小值为2．…（14分）

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，数列求和，循环语句，是算法，数列与函数的综合应用，难度中档．