Question

6．已知空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，BE⊥平面ABCD，AB=AF=2BE．
（Ⅰ）求证：BD∥平面CEF；
（Ⅱ）求CF与平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AF的中点G连结BG，GD，EG，证明BG∥EF，CD∥EG，CE∥DG，结合CE∩EF=E，BG∩DG=G，得到平面BDG∥平面CEF，推出BD∥平面CEF．
（2）设AB=a，连结BF，说明∠BFC为CF与平面ABEF所成角的平面角，在Rt△CBF中，求解即可．

解答 （1）证明：取AF的中点G连结BG，GD，EG
∵AF⊥平面ABCD，BE⊥平面ABCD，
∴BE∥GF且BE=GF，∴四边形BEFG为平行四边形，
∴BG∥EF，
同理可证四边形ABEG为平行四边形，∴EG∥AB且EG=AB，
又CD∥AB且CD=AB，∴CD∥EG且CD=EG，∴四边形CDGE为平行四边形，∴CE∥DG且EG=AB，
又∵CE∩EF=E，BG∩DG=G，∴平面BDG∥平面CEF，
∴BD∥平面CEF…（6分）
（2）解：设AB=a，则$AC=\sqrt{2}a，\;CF=\sqrt{3}a$，
连结BF，易证CB⊥平面ABEF，∴∠BFC为CF与平面ABEF所成角的平面角，
在Rt△CBF中，$sin∠BFC=\frac{BC}{CF}=\frac{AB}{CF}=\frac{a}{{\sqrt{3}a}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面所成角，直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理与性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．