Question

已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：

①函数f(x)的最小值是－1；

②函数f(x)在R上是单调函数；

③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；

④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.

其中正确命题的所有序号是________．

 

Answer 1

①③④

【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；

显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；

因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；

由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．