Question

15．已知集合A={x|2x²-9x+4＞0}，集合B={y|y=-x²+2x，x∈∁_RA}，集合C={x|m+1＜x≤2m-1}．
（1）求集合B；
（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2x²-9x+4＞0，解得x＞4或x$＜\frac{1}{2}$，可得A．可得∁_RA．利用二次函数的单调性可得y=-x²+2x=-（x-1）²+1值域，即可得出B．
（2）A∪C=A，可得C⊆A．当m+1≥2m-1，即m≤2时，C=∅，满足条件．当m+1＜2m-1，即m＞2时，C⊆A，可得2m-1＜$\frac{1}{2}$，或4≤m+1，解得m．

解答 解：（1）由2x²-9x+4＞0，解得x＞4或x$＜\frac{1}{2}$，可得A=$（-∞，\frac{1}{2}）$∪（4，+∞）．
∴∁_RA=$[\frac{1}{2}，4]$．
∴y=-x²+2x=-（x-1）²+1∈[-8，1]．
∴B=[-8，1]．
（2）∵A∪C=A，∴C⊆A
①当m+1≥2m-1，即m≤2时，C=∅，满足条件．
②当m+1＜2m-1，即m＞2时，C⊆A，可得2m-1＜$\frac{1}{2}$，或4≤m+1，解得m＜$\frac{3}{4}$或m≥3．
∴m≥3．
综上可得：实数m的取值范围是（-∞，2]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．