Question

3．某商场销售一种商品，已知该商品每件成本为6元，若每件售价为x元（x＞6），则年销售量W（万件）与每件售价x（元）之间满足关系式：W=kx²+21x+18，且当每件售价为10元时，年销售量为28万件．
（Ⅰ）试确定k的值，并求该商场的年利润f（x）关于售价x的函数关系式；
（Ⅱ）试确定售价x的值，使年利润f（x）最大，并求出最大年利润．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入x=10，W=28，解得k=-2，可得W的解析式，进而得到f（x）的解析式f（x）=-2x³+33x²-108x-108（x＞6）； 
（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得单调区间和极值、最值，即有x=9可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）当x=10时，W=28，
W=100k+210+18=28，
求得k=-2，…（2分）
∴W=-2x²+21x+18，
∴y=（-2x²+21x+18）（x-6），
即y=f（x）=-2x³+33x²-108x-108（x＞6）； …（6分）
（Ⅱ）∵f′（x）=-6x²+66x-108=-6（x-2）（x-9），…（8分）
∵x＞6，∴当6＜x＜9时，f'（x）＞0；当x＞9时，f'（x）＜0；
∴函数f（x）在（6，9）上递增，在（9，+∞）上递减，…（10分）
∴当x=9时，y_max=135，…（11分）
答：当售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．   …（12分）

点评 本题考查导数的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确列出函数的解析式和求出导数是解题的关键，属于中档题．