Question

1．已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在x=-2和x=-ln2处有极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据y=f（x）在x=-2和x=-ln2处有极值，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax+b+a）-2x-4
因为曲线y=f（x）在x=-2和x=-ln2处有极值，
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（{-2}）=0\\ f'（{-ln2}）=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{e^{-2}}（{-2a+b+a}）=0\\{e^{-ln2}}（{-aln2+b+a}）-2（-ln2）-4=0\end{array}\right.$，
解得a=b=4，
经检验a=b=4符合题意，
所以a=b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
f′（x）=4（x+2）（e^x-$\frac{1}{2}$），
令f′（x）＞0，解得：x＞-ln2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-ln2，
故f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，-ln2）递减，在（-ln2，+∞）递增，
故x=-2时，函数f（x）取极大值，极大值是f（-2）=4（1-e^-2）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．