Question

双曲线C与椭圆

x2

36

+

y2

16

=1 有相同的焦点，且C的渐近线为x±

3

y=0，则双曲线C的方程是

x2

15

-

y2

5

=1

．

Answer 1

分析：求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c²=a²+b²；双曲线的渐近线的方程与系数的系数的关系列出方程组，求出a，b；写出双曲线方程．

解答：解：椭圆方程为：

x2

36

+

y2

16

=1 
其焦点坐标为（±2

5

，0）
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵椭圆与双曲线共同的焦点
∴a²+b²=20①
∵渐近线方程是x±

3

y=0，
∴

b

a

=

3

3

②
解①②组成的方程组得a²=15，b²=5，
所以双曲线方程为

x2

15

-

y2

5

=1
故答案为

x2

15

-

y2

5

=1．

点评：题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a²=b²+c²；双曲线中系数的关系是：c²=a²+b²．