Question

5．函数f（x）的导函数为f′（x），对?x∈R，f′（x）＞f（x）都有成立，若f（1）=e，则不等式f（x）＞e^x的解是（　　）

• A． x＞ln4
• B． 0＜x＜ln4
• C． x＞1
• D． 0＜x＜1

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（1）=e，求得g（1）=1，继而求出答案．

解答 解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-f（x）＞0，于是有（ $\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则有g（x）在R上单调递增，
∵不等式f（x）＞e^x，
∴g（x）＞1，
∵f（1）=e，
∴g（1）=1，
∴x＞1，
故选：C．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．