Question

1．如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M、圆N于C、D两点，延长DB、CB分别交圆M、圆N于E、F．已知DB=10、CB=5．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求证：CF=DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据弦切角定理，推导出△ABC∽△DBA，由此能求出AB的长．
（Ⅱ）根据切割线定理，推导出△ABC∽△DBA，得到得$\frac{AC}{DA}=\frac{AB}{DB}=\frac{{5\sqrt{2}}}{10}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{C{A^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{1}{2}$，由此能求出$\frac{CF}{DE}=1$．

解答 解：（Ⅰ）根据弦切角定理，∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB…（1分）
∴△ABC∽△DBA…（2分），
则$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}$…（3分），
故AB²=BC•BD=50…（4分），
$AB=5\sqrt{2}$…（5分）
证明：（Ⅱ）根据切割线定理，知CA²=CB•CF，DA²=DB•DE…（6分）
两式相除，得$\frac{{C{A^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{CB}{DB}•\frac{CF}{DE}$（*）…（7分）
由△ABC∽△DBA，得$\frac{AC}{DA}=\frac{AB}{DB}=\frac{{5\sqrt{2}}}{10}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{C{A^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{1}{2}$…（9分）
又$\frac{CB}{DB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，由（*）得$\frac{CF}{DE}=1$，CF=DE…（10分）

点评 本题考查线段长的求法，考查两线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．