Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=，
∴|MN|==
∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为
∴△AMN的面积S=
∵△AMN的面积为，
∴
∴k=±1．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．