Question

6．已知△ABC的内角A，B，C满足（2sinC-1）sin²A=sin²C-sin²B，则△ABC是（　　）

• A． 等边三角形
• B． 钝角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 直角三角形

Answer 1

分析 利用正弦定理把已知变形，再由余弦定理化简得到$sinC=\frac{ccosB}{a}$，进一步利用正弦定理得到sinA=cosB，则答案可求．

解答 解：由（2sinC-1）sin²A=sin²C-sin²B，
结合正弦定理可得：（2sinC-1）a²=c²-b²，
∴sinC=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2{a}^{2}}$，
则sinC=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{2accosB}{2{a}^{2}}=\frac{ccosB}{a}$，
∴sinC=$\frac{sinCcosB}{sinA}$，即sinA=cosB．
∴sinA=sin（$\frac{π}{2}-B$），得A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．
故选：D．

点评 本题考查三角形形状的判断，考查了正弦定理和余弦定理的应用，是中档题．