Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=24，则△ABC的面积是4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知及等比数列的性质可得sin²B=sinAsinC，由正弦定理可得b²=ac，进而可求c=2a，b=$\sqrt{2}$a，由余弦定理可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可得sinB的值，利用平面向量数量积的运算可求ac的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
∴sin²B=sinAsinC，由正弦定理可得：b²=ac，
∵c=2a，可得：b=$\sqrt{2}$a，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{2a×2a}$=$\frac{3}{4}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=24，可得：accosB=$\frac{3}{4}$ac=24，解得：ac=32，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×32×\frac{\sqrt{7}}{4}$=4$\sqrt{7}$．
故答案为：4$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了等比数列的性质，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．