Question

已知：函数f（x）定义在R上，对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是偶函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（0）；
（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数．

解答： 解：（1）令x=y=0，则由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）
得f（0）+f（0）=2f（0）f（0）=2f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（2）∵f（0）=1；
∴令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），
即f（-y）=f（y），
即函数f（x）是偶函数．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．