Question

6．数列{a_n}前n项和为S_n，且a_n+S_n=-2n-1（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+2}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若${b_n}={log_2}\frac{1}{{{a_n}+2}}$，证明：$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{b_k}{b_{k+1}}}}}＜1$．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a_n+S_n=-2n-1，则a_n+1+S_n+1=-2n-3，两式相减，a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=-2，整理得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n-1，a_n+1+2=$\frac{1}{2}$（a_n+2），$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{2}$，因此数列{a_n+2}是首项为a₁+2=$\frac{1}{2}$，公比为q=$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）由（1）可知，由等比数列通项公式可知：a_n+2=（a₁+2）q^n-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，因此a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-2；
（3）由（2）得${b_n}={log_2}\frac{1}{{{a_n}+2}}$=log₂2ⁿ=n，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，则$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{b_k}{b_{k+1}}}}}＜1$．

解答 解：（1）证明：由a_n+S_n=-2n-1（n∈N^*），
∴a_n+1+S_n+1=-2n-3，
两式相减，a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=-2，即a_n+1-2a_n=-2，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n-1，…（2分）
∴a_n+1+2=$\frac{1}{2}$（a_n+2），
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{2}$，
当n=1时，a₁+S₁=-2-1=-3，
∴a₁=-$\frac{3}{2}$，
∴数列{a_n+2}是首项为a₁+2=$\frac{1}{2}$，公比为q=$\frac{1}{2}$的等比数列，…（4分）
（2）由（1）可知，根据等比数列的通项公式可知：a_n+2=（a₁+2）q^n-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-2；…（6分）
（3）证明：由（2）得${b_n}={log_2}\frac{1}{{{a_n}+2}}$=log₂2ⁿ=n，…（7分）
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$…（8分）
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
即$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{b_k}{b_{k+1}}}}}＜1$．…（10分）

点评 本题考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．