Question

已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．

Answer 1

分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
解答：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan30°=，∴b＜a
∵b=，∴＜a，
整理得c＜a，∴e=＜
∵双曲线中e＞1，∴e的范围是（1，）
故答案为：（1，）．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．