Question

4．已知x，y满足x²+y²=1，求证：|ax+by|≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 可将不等式两边平方，再作差，运用完全平方非负，即可得证．

解答 证明：x²+y²=1，可得x²-1=-y²，y²-1=-x²，
要证不等式|ax+by|≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$成立，即证（ax+by）²≤a²+b²成立，
由（ax+by）²-a²-b²=a²（x²-1）+b²（y²-1）+2abxy
=-a²y²-b²x²+2abxy=-（ay+bx）²≤0，
可得（ax+by）²≤a²+b²，
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法，也可运用三角换元法，运用辅助角公式和正弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．