Question

14．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两焦点F₁，F₂，若M是椭圆上一点，且满足∠F₁MF₂=60°，则离心率的范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，1}）$
• B． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}]$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$

Answer 1

分析 利用椭圆的定义，以及余弦定理，结合基本不等式求解离心率的范围即可．

解答 解：设MF₁=m，MF₂=n，
$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}-2mncos60°$．
即4c²=m²+n²-mn=（m+n）²-3mn，
∴$mn=\frac{4}{3}（{a^2}-{c^2}）$，
∵$m•n≤{（\frac{m+n}{2}）^2}$，即$\frac{4}{3}（{a^2}-{c^2}）≤{a^2}$，
∴${e^2}≥\frac{1}{4}∴e∈[{\frac{1}{2}，1}）$
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理的应用，考查计算能力．