题目内容
19．已知函数f（x）=-x3+2ax2-x-3在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞） | B． | [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$] | C． | （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞） | D． | （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$） |
分析 先求函数的导数，因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．
解答 解：f（x）=-x3+2ax2-x-3的导数为f′（x）=-3x2+4ax-1，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x2+4ax-1≤0恒成立，
∴△=16a2-12≤0，解得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴实数a的取值范围是得[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
故选：B．
点评 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．
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